Lugares geométricos

Lugares geométricos

Se denomina lugar geométrico al conjunto de puntos (x,y) que cumplen una condición geométrica y se representa en una ecuación. La recta, la circunferencia, la elipse, la parábola y la hipérbola son ejemplos de lugares geométricos.

Recta

Se llama recta a la línea compuesta por los puntos de un plano y se caracteriza por:

• Su inclinación se mide por un número llamado pendiente, el cual se representa por la letra m.
• Para obtener la pendiente, así como la ecuación de la recta podemos tomar dos puntos cualesquiera
  P( x₁, y₁ ). Q( x₂, y₂) de la misma recta.
• El valor de la pendiente es siempre constante independientemente de los puntos que se tomen.
  

La ecuación de la recta es:

y = mx + b

Y la expresión matemática para calcular la pendiente de una recta es:

Círculo y circunferencia

La circunferencia es una línea curva cerrada cuyos puntos guardan la misma distancia con otro situado en el mismo plano, que se llama centro. El círculo es una figura geométrica delimitada por una circunferencia.

En el círculo se identifican cuatro líneas: el radio, el diámetro, la cuerda y el arco.

• Radio: segmento que une el centro del círculo con cualquier punto en la circunferencia.
• Diámetro: recta que une dos puntos de la circunferencia y pasa por el centro.
• Cuerda: segmento que une dos puntos de la circunferencia.

En el estudio de conceptos trigonométricos se utiliza el círculo trigonométrico. En éste, el centro coincide con el origen de las coordenadas del plano cartesiano 0 y su radio mide 1.

Recuerda que la tangente a una curva es la recta que toca sólo un punto de la curva.

 

En el video siguiente puedes observar cómo se obtienen las funciones trigonométricas a partir del círculo trigonométrico.

https://www.youtube.com/watch?v=A_FCCoiwR4w

Elipse

La elipse es el lugar geométrico de los puntos en el plano cuya suma de distancias a dos puntos fijos, llamados focos, es siempre igual a una constante mayor que la distancia entre esos puntos.

 

Esta curva se obtiene al cortar un cono con un plano que intersecta en sus generatrices.

 

En la imagen siguiente, observa los elementos de una elipse:

Focos de una elipse (F y F’): puntos fijos de la elipse que se mencionan en la definición.

 

Eje focal de una elipse: recta que pasa por los focos de la elipse; se presenta en la imagen como recta Ef.

 

Vértices de una elipse (A,A’): son los puntos donde la elipse se intersecta con el eje focal.

 

Eje mayor: recta cuyos extremos son los vértices de la elipse.

 

Eje menor: recta perpendicular al eje mayor que pasa por el centro de la elipse.

 

La ecuación general de la elipse es:

Ax² + Cy² + Dx + Ey + F = 0

Sin embargo, esta ecuación varía, dependiendo del lugar en el que se encuentre el centro de la elipse. Consulta la tabla para conocer las ecuaciones.

Parábola

Se le denomina parábola al lugar geométrico en el que todos sus puntos se localizan a la misma distancia de un punto fijo (llamado foco) y de una recta fija o directriz.

 

En la parábola se localizan los elementos siguientes:

 

Vértice (V): punto de intersección entre la parábola y el eje principal.

Foco (F): punto fijo.

Directriz (D): línea fija.

Eje focal: es la recta que pasa por el foco y es perpendicular a la directriz.

Electromagnetismo y lugares geométricos

En los fenómenos físicos se presentan lugares geométricos, por ejemplo: las líneas del campo magnético que se originan cuando una corriente pasa por un hilo infinito son circunferencias centradas en el hilo que giran en sentido contrario a las manecillas del reloj, como se muestra en la imagen 1.

Imagen 1. Líneas del campo magnético.

Otro ejemplo se encuentra al determinar la dirección de las líneas del campo magnético que es tangente a dicho punto, es decir, al trazar una recta tangente a las líneas magnéticas, éstas señalarán la dirección del campo magnético en ese punto (véase imagen 2).

Imagen 2. Líneas magnéticas.

Fuentes

Martín Blas, Teresa y Ana Serrano Fernández, Magnetismo [en línea], Madrid, Universidad Politécnica de Madrid, s. f., http://www2.montes.upm.es/dptos/ digfa/cfisica/magnet/ampere.html (consultado el 22 de enero de 2019).

 

“Relación entre electricidad y magnetismo”, Aula fácil [en línea], 2019, https://www.aulafacil.com/cursos/fisica/ electromagnetismo/relacion-entre-electricidad-y -magnetismo-l30047 (consultado el 22 de enero de 2019).

 

Rojas Artavia, Lilliam Patricia, Circunferencia [en línea], Costa Rica, 2016, https://www.mep.go.cr/sites/default/ files/recursos/recursos-interactivos/educ_abierta/ mate_primaria/areas/geometria/circunferencia.pdf (consultado el 22 de enero de 2019).

 

UNAM, Conceptos clave de la unidad 4 [en línea], México, s. f., https://portalacademico.cch.unam.mx/ materiales/prof/matdidac/ sitpro/mate/mate/mate3/ matemaIII/ 2U4Conceptos_Clave.pdf (consultado el 22 de enero de 2019).